数学分析复习总结 (Zusammenfassungen)

0. 保守场的证明 (Konservatives Vektorfeld)

定义

向量场 $\vec f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ 是保守场，当且仅当存在势函数 $\varphi$ 使得：

判定准则 (Potentialkriterium)

对于向量场：

充要条件：旋度为零 $\nabla \times \vec f = \vec 0$，即：

保守场的性质

1. 路径无关性：曲线积分 $\int_C \vec f \cdot d\vec s$ 只依赖于起点和终点
2. 闭合路径积分为零：$\oint_C \vec f \cdot d\vec s = 0$
3. 势函数差：$\int_C \vec f \cdot d\vec s = \varphi(B) - \varphi(A)$

0.1 行列式的计算 (Determinante)

2×2 行列式

3×3 行列式（Sarrus 规则）

记忆方法：主对角线三项为正，副对角线三项为负

拉普拉斯展开（按行/列展开）

按第 $i$ 行展开：

其中 $M_{ij}$ 是去掉第 $i$ 行第 $j$ 列后的余子式。

例子：按第一行展开

性质

1. 交换两行/列，行列式变号
2. 某行/列乘以常数 $k$，行列式乘以 $k$
3. 有两行/列相同或成比例，行列式为 0
4. $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$
5. $\det(A^T) = \det(A)$

0.2 矩阵的计算 (Matrizenrechnung)

矩阵乘法

$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$

注意：$AB \neq BA$（一般不可交换）

矩阵的逆 (Inverse Matrix)

若 $\det(A) \neq 0$，则 $A$ 可逆。

2×2 矩阵的逆：

验证：$AA^{-1} = E$（单位矩阵）

特征值和特征向量 (Eigenwerte und Eigenvektoren)

求解步骤：

1. 求特征多项式：$\det(A - \lambda E) = 0$
2. 解方程得特征值 $\lambda_1, \lambda_2, ...$
3. 对每个 $\lambda_i$，求解 $(A - \lambda_i E)\vec v = \vec 0$ 得特征向量

矩阵的秩 (Rang)

通过高斯消元法化为行阶梯形，非零行的数量即为秩。

性质：$\text{Rang}(A) = n \Leftrightarrow \det(A) \neq 0$（满秩）

1. 求势函数 (Potential ermitteln)

前提条件

向量场 $\vec f = \begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \\ f_3 \end{pmatrix}$ 必须是保守场（验证旋度为零）

方法：逐步积分法

步骤：

第一步：对 $\frac{\partial \varphi}{\partial x} = f_1$ 关于 $x$ 积分

其中 $g(y,z)$ 是关于 $y,z$ 的待定函数。

第二步：利用 $\frac{\partial \varphi}{\partial y} = f_2$ 确定 $g(y,z)$

积分得：

第三步：利用 $\frac{\partial \varphi}{\partial z} = f_3$ 确定 $h(z)$

解出 $h'(z)$，积分得 $h(z) = \int h'(z) \, dz + C$

最终：$\varphi(x,y,z) = ...$ （取 $C=0$）

验证

检查 $\nabla \varphi = \vec f$：

• $\frac{\partial \varphi}{\partial x} = f_1$ ✓
• $\frac{\partial \varphi}{\partial y} = f_2$ ✓
• $\frac{\partial \varphi}{\partial z} = f_3$ ✓

2. 求曲线长度 (Kurvenlänge)

参数曲线的弧长

给定曲线 $\vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}$，$t \in [a,b]$

弧长公式：

平面曲线（笛卡尔坐标）

若 $y = f(x)$，$x \in [a,b]$：

极坐标曲线

若 $r = r(\theta)$，$\theta \in [\alpha, \beta]$：

计算步骤

1. 参数化曲线（如果尚未参数化）
2. 求导数 $\vec r'(t)$
3. 计算模长 $\|\vec r'(t)\|$
4. 积分

例子：螺旋线 曲线 $\vec r(t) = \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \\ t \end{pmatrix}$，$t \in [0, 2\pi]$

$\vec r'(t) = \begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t \\ 1 \end{pmatrix}$

$\|\vec r'(t)\| = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + 1} = \sqrt{2}$

$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{2} \, dt = 2\sqrt{2}\pi$

3. 求体积/面积（二重积分）(Doppelintegral)

直角坐标系

区域 $D$ 上的二重积分：

或者

面积：$A = \iint_D 1 \, dA$

体积（曲顶柱体）：$V = \iint_D f(x,y) \, dA$（其中 $z=f(x,y) \geq 0$）

极坐标系

变换：$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$

雅可比行列式：$\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} = r$

计算步骤

1. 画出积分区域 $D$
2. 确定积分限（可能需要分成多个子区域）
3. 选择坐标系：

• 圆形区域 → 极坐标
• 矩形区域 → 直角坐标

4. 计算积分

例子：圆盘的面积 区域：$D = \{(x,y) : x^2 + y^2 \leq R^2\}$

极坐标：$0 \leq r \leq R$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$

体积（三重积分）

4. 标量的曲线积分 (Kurvenintegral erster Art)

定义

沿曲线 $C$ 对标量函数 $f$ 的积分（第一类曲线积分）：

其中：

• $\vec r(t)$ 是曲线的参数表示，$t \in [a,b]$
• $ds = \|\vec r'(t)\| dt$ 是弧长微元

物理意义

• 质量：线密度为 $\rho(x,y,z)$ 的曲线质量 $m = \int_C \rho \, ds$
• 重心坐标：$\bar{x} = \frac{1}{m}\int_C x\rho \, ds$
• 平均值：$\bar{f} = \frac{1}{L}\int_C f \, ds$（$L$ 为曲线长度）

计算步骤

1. 参数化曲线 $\vec r(t)$，$t \in [a,b]$
2. 计算 $\vec r'(t)$ 和 $\|\vec r'(t)\|$
3. 代入 $f(\vec r(t))$
4. 计算积分 $\int_a^b f(\vec r(t)) \|\vec r'(t)\| \, dt$

性质

• 与路径方向无关（标量积分）
• 可加性：$\int_{C_1+C_2} f \, ds = \int_{C_1} f \, ds + \int_{C_2} f \, ds$

例子： $f(x,y) = xy$，沿半圆 $\vec r(t) = \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \end{pmatrix}$，$t \in [0,\pi]$

$\vec r'(t) = \begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t \end{pmatrix}$，$\|\vec r'(t)\| = 1$

$f(\vec r(t)) = \cos t \sin t$

$\int_C xy \, ds = \int_0^\pi \cos t \sin t \cdot 1 \, dt = \int_0^\pi \frac{1}{2}\sin 2t \, dt = \left[-\frac{1}{4}\cos 2t\right]_0^\pi = 0$

5. 曲面积分求面积 (Oberflächeninhalt)

参数曲面的面积

给定曲面 $\vec r(u,v) = \begin{pmatrix} x(u,v) \\ y(u,v) \\ z(u,v) \end{pmatrix}$，$(u,v) \in D$

面积公式：

显式曲面 $z = f(x,y)$

参数化：$\vec r(x,y) = \begin{pmatrix} x \\ y \\ f(x,y) \end{pmatrix}$

计算步骤

1. 参数化曲面 $\vec r(u,v)$
2. 求偏导数 $\vec r_u = \frac{\partial \vec r}{\partial u}$，$\vec r_v = \frac{\partial \vec r}{\partial v}$
3. 计算叉积 $\vec r_u \times \vec r_v$
4. 计算模长 $\|\vec r_u \times \vec r_v\|$
5. 二重积分

例子：球面面积 球面 $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$

球坐标参数化：

其中 $0 \leq \theta \leq 2\pi$，$0 \leq \phi \leq \pi$

计算得：$\|\vec r_\theta \times \vec r_\phi\| = R^2\sin\phi$

6. 已知路径求曲线积分 (Kurvenintegral zweiter Art)

向量场的曲线积分（第二类曲线积分）

分量形式

计算方法

方法一：直接参数化计算（适用于所有情况）

1. 参数化路径 $\vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}$，$t \in [a,b]$
2. 计算 $\vec r'(t) = \begin{pmatrix} x'(t) \\ y'(t) \\ z'(t) \end{pmatrix}$
3. 计算 $\vec f(\vec r(t)) = \begin{pmatrix} f_1(x(t),y(t),z(t)) \\ f_2(x(t),y(t),z(t)) \\ f_3(x(t),y(t),z(t)) \end{pmatrix}$
4. 计算点积 $\vec f(\vec r(t)) \cdot \vec r'(t)$
5. 积分 $\int_a^b [\vec f(\vec r(t)) \cdot \vec r'(t)] \, dt$

方法二：势函数法（仅适用于保守场）

前提：先验证 $\vec f$ 是保守场（旋度为零）

步骤：

1. 求势函数 $\varphi$（使 $\nabla \varphi = \vec f$）
2. 计算 $\varphi(B) - \varphi(A)$（$A$ 是起点，$B$ 是终点）

性质

• 与路径方向相关：$\int_{-C} \vec f \cdot d\vec s = -\int_C \vec f \cdot d\vec s$
• 保守场的路径无关性

物理意义

• 功：力场 $\vec F$ 沿路径 $C$ 做的功 $W = \int_C \vec F \cdot d\vec s$
• 环流量：闭合路径的积分 $\oint_C \vec f \cdot d\vec s$

例子一（直接法）： $\vec f = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$，沿直线从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$

参数化：$\vec r(t) = \begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix}$，$t \in [0,1]$

$\vec r'(t) = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\vec f(\vec r(t)) = \begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix}$

$\vec f \cdot \vec r' = t \cdot 1 + t \cdot 1 = 2t$

$\int_C \vec f \cdot d\vec s = \int_0^1 2t \, dt = [t^2]_0^1 = 1$

例子二（势函数法）： $\vec f = \begin{pmatrix} 2x + 4xz \\ z^2 \\ 2x^2 + 2yz + 3z^2 \end{pmatrix}$，从 $P(0,0,0)$ 到 $Q(1,1,2)$

验证保守场（旋度为零）✓

势函数：$\varphi(x,y,z) = x^2 + 2x^2z + yz^2 + z^3$

$\int_C \vec f \cdot d\vec s = \varphi(Q) - \varphi(P) = 17 - 0 = 17$

7. 求通量 $\Phi$ (Fluss)

定义

向量场 $\vec f$ 通过定向曲面 $S$ 的通量：

其中：

• $\vec n$ 是单位法向量
• $d\vec A = \vec n \, dS$ 是定向面积微元
• $dS$ 是面积微元

参数曲面的通量

给定 $\vec r(u,v)$，$(u,v) \in D$

法向量：$\vec N = \frac{\partial \vec r}{\partial u} \times \frac{\partial \vec r}{\partial v}$（未归一化）

显式曲面 $z = g(x,y)$

参数化：$\vec r(x,y) = \begin{pmatrix} x \\ y \\ g(x,y) \end{pmatrix}$

法向量（向上）：$\vec N = \begin{pmatrix} -g_x \\ -g_y \\ 1 \end{pmatrix}$

对于 $\vec f = \begin{pmatrix} P \\ Q \\ R \end{pmatrix}$：

或写成：

计算步骤

1. 参数化曲面（或识别显式曲面）
2. 计算法向量 $\vec N = \vec r_u \times \vec r_v$（注意方向！）
3. 代入向量场 $\vec f(\vec r(u,v))$
4. 计算点积 $\vec f \cdot \vec N$
5. 二重积分

高斯散度定理 (Gaußscher Integralsatz)

对于封闭曲面 $S$ 包围体积 $V$（法向量向外）：

其中散度：

物理意义

• 流体流量：速度场 $\vec v$ 通过曲面的体积流量
• 电通量：电场 $\vec E$ 通过曲面的通量
• 热流：热流密度 $\vec q$ 通过曲面的热量

注意事项

⚠️ 法向量方向：

• 开放曲面：题目会指定方向（向上、向外等）
• 封闭曲面：通常取向外的法向量

例子一：平面区域 $\vec f = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ z \end{pmatrix}$，通过平面 $z=1$，$x^2+y^2 \leq 1$（向上）

曲面可视为 $z = g(x,y) = 1$，$g_x = g_y = 0$

$\vec f(x,y,1) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\Phi = \iint_D (0 \cdot 0 - 0 \cdot 0 + 1) \, dx \, dy = \iint_D 1 \, dx \, dy = \pi \cdot 1^2 = \pi$

例子二：球面（用高斯定理） $\vec f = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$，通过球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$（向外）

散度：$\nabla \cdot \vec f = 1 + 1 + 1 = 3$

重要公式总结 (Wichtige Formeln)

梯度、散度、旋度

梯度（标量函数 → 向量场）：

散度（向量场 → 标量函数）：

旋度（向量场 → 向量场）：

三大积分定理

1. 格林公式 (Greenscher Satz)（平面曲线积分→二重积分）

2. 斯托克斯定理 (Stokesscher Satz)（空间曲线积分→曲面积分）

3. 高斯定理 (Gaußscher Satz)（曲面积分→三重积分）

坐标变换

极坐标（平面）：

柱坐标：

球坐标：

常用积分

常见题型总结

类型一：判断保守场

方法：验证 $\nabla \times \vec f = \vec 0$

类型二：求势函数

方法：逐步积分法（见第1节）

类型三：计算曲线积分

• 保守场 → 势函数法
• 非保守场 → 参数化直接计算
• 闭合曲线 → 格林公式或斯托克斯定理

类型四：计算曲面积分（通量）

• 简单曲面 → 直接参数化
• 封闭曲面 → 高斯定理（散度定理）

类型五：计算面积/弧长

• 曲线长度 → $\int \|\vec r'(t)\| dt$
• 曲面面积 → $\iint \|\vec r_u \times \vec r_v\| du\,dv$

类型六：计算体积

• 简单区域 → 直角坐标
• 圆形/球形 → 极坐标/球坐标
• 旋转体 → 柱坐标