数学分析复习总结 (Zusammenfassungen)#

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0. 保守场的证明 (Konservatives Vektorfeld)#

定义#

向量场 $\vec f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ 是保守场，当且仅当存在势函数 $\varphi$ 使得： $$ \vec f = \nabla \varphi = \text{grad } \varphi $$

判定准则 (Potentialkriterium)#

对于向量场： $$ \vec f=\begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \\ f_3 \end{pmatrix} $$

充要条件：旋度为零 $\nabla \times \vec f = \vec 0$，即： $$ \boxed{\begin{cases} \frac{\partial f_3}{\partial x_2}=\frac{\partial f_2}{\partial x_3} \\[8pt] \frac{\partial f_1}{\partial x_3}=\frac{\partial f_3}{\partial x_1} \\[8pt] \frac{\partial f_2}{\partial x_1}=\frac{\partial f_1}{\partial x_2} \end{cases}} $$

保守场的性质#

1. 路径无关性：曲线积分 $\int_C \vec f \cdot d\vec s$ 只依赖于起点和终点
2. 闭合路径积分为零：$\oint_C \vec f \cdot d\vec s = 0$
3. 势函数差：$\int_C \vec f \cdot d\vec s = \varphi(B) - \varphi(A)$

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0.1 行列式的计算 (Determinante)#

2×2 行列式#

$$ \det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc $$

3×3 行列式（Sarrus 规则）#

$$ \det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} $$ $$ = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} $$

记忆方法：主对角线三项为正，副对角线三项为负

拉普拉斯展开（按行/列展开）#

按第 $i$ 行展开： $$ \det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij} $$ 其中 $M_{ij}$ 是去掉第 $i$ 行第 $j$ 列后的余子式。

例子：按第一行展开 $$ \det(A) = a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix} $$

性质#

1. 交换两行/列，行列式变号
2. 某行/列乘以常数 $k$，行列式乘以 $k$
3. 有两行/列相同或成比例，行列式为 0
4. $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$
5. $\det(A^T) = \det(A)$

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0.2 矩阵的计算 (Matrizenrechnung)#

矩阵乘法#

$(AB){ij} = \sum{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$

注意：$AB \neq BA$（一般不可交换）

矩阵的逆 (Inverse Matrix)#

若 $\det(A) \neq 0$，则 $A$ 可逆。

2×2 矩阵的逆： $$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $$

验证：$AA^{-1} = E$（单位矩阵）

特征值和特征向量 (Eigenwerte und Eigenvektoren)#

$$ A\vec v = \lambda \vec v $$

求解步骤：

1. 求特征多项式：$\det(A - \lambda E) = 0$
2. 解方程得特征值 $\lambda_1, \lambda_2, …$
3. 对每个 $\lambda_i$，求解 $(A - \lambda_i E)\vec v = \vec 0$ 得特征向量

矩阵的秩 (Rang)#

通过高斯消元法化为行阶梯形，非零行的数量即为秩。

性质：$\text{Rang}(A) = n \Leftrightarrow \det(A) \neq 0$（满秩）

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1. 求势函数 (Potential ermitteln)#

前提条件#

向量场 $\vec f = \begin{pmatrix} f_1 \ f_2 \ f_3 \end{pmatrix}$ 必须是保守场（验证旋度为零）

方法：逐步积分法#

步骤：

第一步：对 $\frac{\partial \varphi}{\partial x} = f_1$ 关于 $x$ 积分 $$ \varphi = \int f_1(x,y,z) \, dx + g(y,z) $$ 其中 $g(y,z)$ 是关于 $y,z$ 的待定函数。

第二步：利用 $\frac{\partial \varphi}{\partial y} = f_2$ 确定 $g(y,z)$ $$ \frac{\partial}{\partial y}\left[\int f_1 \, dx + g(y,z)\right] = f_2 $$ $$ \Rightarrow \frac{\partial g}{\partial y} = f_2 - \frac{\partial}{\partial y}\int f_1 \, dx $$ 积分得： $$ g(y,z) = \int \left(f_2 - \frac{\partial}{\partial y}\int f_1 \, dx\right) dy + h(z) $$

第三步：利用 $\frac{\partial \varphi}{\partial z} = f_3$ 确定 $h(z)$ $$ \frac{\partial \varphi}{\partial z} = f_3 $$ 解出 $h’(z)$，积分得 $h(z) = \int h’(z) , dz + C$

最终：$\varphi(x,y,z) = …$ （取 $C=0$）

验证#

检查 $\nabla \varphi = \vec f$：

• $\frac{\partial \varphi}{\partial x} = f_1$ ✓
• $\frac{\partial \varphi}{\partial y} = f_2$ ✓
• $\frac{\partial \varphi}{\partial z} = f_3$ ✓

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2. 求曲线长度 (Kurvenlänge)#

参数曲线的弧长#

给定曲线 $\vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \ y(t) \ z(t) \end{pmatrix}$，$t \in [a,b]$

弧长公式： $$ \boxed{L = \int_a^b \|\vec r'(t)\| \, dt = \int_a^b \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 + [z'(t)]^2} \, dt} $$

平面曲线（笛卡尔坐标）#

若 $y = f(x)$，$x \in [a,b]$： $$ L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx $$

极坐标曲线#

若 $r = r(\theta)$，$\theta \in [\alpha, \beta]$： $$ L = \int_\alpha^\beta \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2} \, d\theta $$

计算步骤#

1. 参数化曲线（如果尚未参数化）
2. 求导数 $\vec r’(t)$
3. 计算模长 $|\vec r’(t)|$
4. 积分

例子：螺旋线 曲线 $\vec r(t) = \begin{pmatrix} \cos t \ \sin t \ t \end{pmatrix}$，$t \in [0, 2\pi]$

$\vec r’(t) = \begin{pmatrix} -\sin t \ \cos t \ 1 \end{pmatrix}$

$|\vec r’(t)| = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + 1} = \sqrt{2}$

$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{2} , dt = 2\sqrt{2}\pi$

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3. 求体积/面积（二重积分）(Doppelintegral)#

直角坐标系#

区域 $D$ 上的二重积分： $$ \iint_D f(x,y) \, dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) \, dy \, dx $$ 或者 $$ = \int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y) \, dx \, dy $$

面积：$A = \iint_D 1 , dA$

体积（曲顶柱体）：$V = \iint_D f(x,y) , dA$（其中 $z=f(x,y) \geq 0$）

极坐标系#

变换：$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$

雅可比行列式：$\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} = r$

$$ \iint_D f(x,y) \, dx\,dy = \int_\alpha^\beta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot r \, dr \, d\theta $$

计算步骤#

1. 画出积分区域 $D$
2. 确定积分限（可能需要分成多个子区域）
3. 选择坐标系：
   • 圆形区域 → 极坐标
   • 矩形区域 → 直角坐标
4. 计算积分

例子：圆盘的面积 区域：$D = {(x,y) : x^2 + y^2 \leq R^2}$

极坐标：$0 \leq r \leq R$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$

$$ A = \iint_D 1 \, dA = \int_0^{2\pi} \int_0^R r \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{R^2}{2} \, d\theta = \pi R^2 $$

体积（三重积分）#

$$ V = \iiint_V 1 \, dV = \iiint_V dx\,dy\,dz $$

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4. 标量的曲线积分 (Kurvenintegral erster Art)#

定义#

沿曲线 $C$ 对标量函数 $f$ 的积分（第一类曲线积分）： $$ \boxed{\int_C f \, ds = \int_a^b f(\vec r(t)) \|\vec r'(t)\| \, dt} $$

其中：

• $\vec r(t)$ 是曲线的参数表示，$t \in [a,b]$
• $ds = |\vec r’(t)| dt$ 是弧长微元

物理意义#

• 质量：线密度为 $\rho(x,y,z)$ 的曲线质量 $m = \int_C \rho , ds$
• 重心坐标：$\bar{x} = \frac{1}{m}\int_C x\rho , ds$
• 平均值：$\bar{f} = \frac{1}{L}\int_C f , ds$（$L$ 为曲线长度）

计算步骤#

1. 参数化曲线 $\vec r(t)$，$t \in [a,b]$
2. 计算 $\vec r’(t)$ 和 $|\vec r’(t)|$
3. 代入 $f(\vec r(t))$
4. 计算积分 $\int_a^b f(\vec r(t)) |\vec r’(t)| , dt$

性质#

• 与路径方向无关（标量积分）
• 可加性：$\int_{C_1+C_2} f , ds = \int_{C_1} f , ds + \int_{C_2} f , ds$

例子： $f(x,y) = xy$，沿半圆 $\vec r(t) = \begin{pmatrix} \cos t \ \sin t \end{pmatrix}$，$t \in [0,\pi]$

$\vec r’(t) = \begin{pmatrix} -\sin t \ \cos t \end{pmatrix}$，$|\vec r’(t)| = 1$

$f(\vec r(t)) = \cos t \sin t$

$\int_C xy , ds = \int_0^\pi \cos t \sin t \cdot 1 , dt = \int_0^\pi \frac{1}{2}\sin 2t , dt = \left[-\frac{1}{4}\cos 2t\right]_0^\pi = 0$

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5. 曲面积分求面积 (Oberflächeninhalt)#

参数曲面的面积#

给定曲面 $\vec r(u,v) = \begin{pmatrix} x(u,v) \ y(u,v) \ z(u,v) \end{pmatrix}$，$(u,v) \in D$

面积公式： $$ \boxed{A = \iint_D \left\|\frac{\partial \vec r}{\partial u} \times \frac{\partial \vec r}{\partial v}\right\| \, du \, dv} $$

显式曲面 $z = f(x,y)$#

参数化：$\vec r(x,y) = \begin{pmatrix} x \ y \ f(x,y) \end{pmatrix}$

$$ \frac{\partial \vec r}{\partial x} \times \frac{\partial \vec r}{\partial y} = \begin{pmatrix} -f_x \\ -f_y \\ 1 \end{pmatrix} $$ $$ \boxed{A = \iint_D \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2} \, dx \, dy} $$

计算步骤#

1. 参数化曲面 $\vec r(u,v)$
2. 求偏导数 $\vec r_u = \frac{\partial \vec r}{\partial u}$，$\vec r_v = \frac{\partial \vec r}{\partial v}$
3. 计算叉积 $\vec r_u \times \vec r_v$
4. 计算模长 $|\vec r_u \times \vec r_v|$
5. 二重积分

例子：球面面积 球面 $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$

球坐标参数化： $$ \vec r(\theta,\phi) = \begin{pmatrix} R\sin\phi\cos\theta \\ R\sin\phi\sin\theta \\ R\cos\phi \end{pmatrix} $$ 其中 $0 \leq \theta \leq 2\pi$，$0 \leq \phi \leq \pi$

计算得：$|\vec r_\theta \times \vec r_\phi| = R^2\sin\phi$

$$ A = \int_0^{2\pi}\int_0^\pi R^2\sin\phi \, d\phi \, d\theta = 2\pi R^2 \cdot 2 = 4\pi R^2 $$

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6. 已知路径求曲线积分 (Kurvenintegral zweiter Art)#

向量场的曲线积分（第二类曲线积分）#

$$ \boxed{\int_C \vec f \cdot d\vec s = \int_a^b \vec f(\vec r(t)) \cdot \vec r'(t) \, dt} $$

分量形式#

$$ \int_C \vec f \cdot d\vec s = \int_C (f_1 \, dx + f_2 \, dy + f_3 \, dz) $$

计算方法#

方法一：直接参数化计算（适用于所有情况）#

1. 参数化路径 $\vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \ y(t) \ z(t) \end{pmatrix}$，$t \in [a,b]$
2. 计算 $\vec r’(t) = \begin{pmatrix} x’(t) \ y’(t) \ z’(t) \end{pmatrix}$
3. 计算 $\vec f(\vec r(t)) = \begin{pmatrix} f_1(x(t),y(t),z(t)) \ f_2(x(t),y(t),z(t)) \ f_3(x(t),y(t),z(t)) \end{pmatrix}$
4. 计算点积 $\vec f(\vec r(t)) \cdot \vec r’(t)$
5. 积分 $\int_a^b [\vec f(\vec r(t)) \cdot \vec r’(t)] , dt$

方法二：势函数法（仅适用于保守场）#

前提：先验证 $\vec f$ 是保守场（旋度为零）

步骤：

1. 求势函数 $\varphi$（使 $\nabla \varphi = \vec f$）
2. 计算 $\varphi(B) - \varphi(A)$（$A$ 是起点，$B$ 是终点）

$$ \boxed{\int_C \vec f \cdot d\vec s = \varphi(B) - \varphi(A)} $$

性质#

• 与路径方向相关：$\int_{-C} \vec f \cdot d\vec s = -\int_C \vec f \cdot d\vec s$
• 保守场的路径无关性

物理意义#

• 功：力场 $\vec F$ 沿路径 $C$ 做的功 $W = \int_C \vec F \cdot d\vec s$
• 环流量：闭合路径的积分 $\oint_C \vec f \cdot d\vec s$

例子一（直接法）： $\vec f = \begin{pmatrix} y \ x \end{pmatrix}$，沿直线从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$

参数化：$\vec r(t) = \begin{pmatrix} t \ t \end{pmatrix}$，$t \in [0,1]$

$\vec r’(t) = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix}$

$\vec f(\vec r(t)) = \begin{pmatrix} t \ t \end{pmatrix}$

$\vec f \cdot \vec r’ = t \cdot 1 + t \cdot 1 = 2t$

$\int_C \vec f \cdot d\vec s = \int_0^1 2t , dt = [t^2]_0^1 = 1$

例子二（势函数法）： $\vec f = \begin{pmatrix} 2x + 4xz \ z^2 \ 2x^2 + 2yz + 3z^2 \end{pmatrix}$，从 $P(0,0,0)$ 到 $Q(1,1,2)$

验证保守场（旋度为零）✓

势函数：$\varphi(x,y,z) = x^2 + 2x^2z + yz^2 + z^3$

$\int_C \vec f \cdot d\vec s = \varphi(Q) - \varphi(P) = 17 - 0 = 17$

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7. 求通量 $\Phi$ (Fluss)#

定义#

向量场 $\vec f$ 通过定向曲面 $S$ 的通量： $$ \boxed{\Phi = \iint_S \vec f \cdot d\vec A = \iint_S \vec f \cdot \vec n \, dS} $$

其中：

• $\vec n$ 是单位法向量
• $d\vec A = \vec n , dS$ 是定向面积微元
• $dS$ 是面积微元

参数曲面的通量#

给定 $\vec r(u,v)$，$(u,v) \in D$

法向量：$\vec N = \frac{\partial \vec r}{\partial u} \times \frac{\partial \vec r}{\partial v}$（未归一化）

$$ \boxed{\Phi = \iint_D \vec f(\vec r(u,v)) \cdot \left(\frac{\partial \vec r}{\partial u} \times \frac{\partial \vec r}{\partial v}\right) \, du \, dv} $$

显式曲面 $z = g(x,y)$#

参数化：$\vec r(x,y) = \begin{pmatrix} x \ y \ g(x,y) \end{pmatrix}$

法向量（向上）：$\vec N = \begin{pmatrix} -g_x \ -g_y \ 1 \end{pmatrix}$

对于 $\vec f = \begin{pmatrix} P \ Q \ R \end{pmatrix}$： $$ \boxed{\Phi = \iint_D (-P g_x - Q g_y + R) \, dx \, dy} $$

或写成： $$ \Phi = \iint_D \vec f(x,y,g(x,y)) \cdot \begin{pmatrix} -g_x \\ -g_y \\ 1 \end{pmatrix} \, dx \, dy $$

计算步骤#

1. 参数化曲面（或识别显式曲面）
2. 计算法向量 $\vec N = \vec r_u \times \vec r_v$（注意方向！）
3. 代入向量场 $\vec f(\vec r(u,v))$
4. 计算点积 $\vec f \cdot \vec N$
5. 二重积分

高斯散度定理 (Gaußscher Integralsatz)#

对于封闭曲面 $S$ 包围体积 $V$（法向量向外）： $$ \boxed{\iint_S \vec f \cdot d\vec A = \iiint_V \nabla \cdot \vec f \, dV} $$

其中散度： $$ \nabla \cdot \vec f = \frac{\partial f_1}{\partial x}+\frac{\partial f_2}{\partial y}+\frac{\partial f_3}{\partial z} $$

物理意义#

• 流体流量：速度场 $\vec v$ 通过曲面的体积流量
• 电通量：电场 $\vec E$ 通过曲面的通量
• 热流：热流密度 $\vec q$ 通过曲面的热量

注意事项#

⚠️ 法向量方向：

• 开放曲面：题目会指定方向（向上、向外等）
• 封闭曲面：通常取向外的法向量

例子一：平面区域 $\vec f = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ z \end{pmatrix}$，通过平面 $z=1$，$x^2+y^2 \leq 1$（向上）

曲面可视为 $z = g(x,y) = 1$，$g_x = g_y = 0$

$\vec f(x,y,1) = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}$

$\Phi = \iint_D (0 \cdot 0 - 0 \cdot 0 + 1) , dx , dy = \iint_D 1 , dx , dy = \pi \cdot 1^2 = \pi$

例子二：球面（用高斯定理） $\vec f = \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix}$，通过球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$（向外）

散度：$\nabla \cdot \vec f = 1 + 1 + 1 = 3$

$$ \Phi = \iiint_V 3 \, dV = 3 \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = 4\pi R^3 $$

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重要公式总结 (Wichtige Formeln)#

梯度、散度、旋度#

梯度（标量函数 → 向量场）： $$ \nabla f = \text{grad } f = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial f}{\partial z} \end{pmatrix} $$

散度（向量场 → 标量函数）： $$ \nabla \cdot \vec f = \text{div } \vec f = \frac{\partial f_1}{\partial x}+\frac{\partial f_2}{\partial y}+\frac{\partial f_3}{\partial z} $$

旋度（向量场 → 向量场）： $$ \nabla \times \vec f = \text{curl } \vec f = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ f_1 & f_2 & f_3 \end{vmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_3}{\partial y}-\frac{\partial f_2}{\partial z} \\ \frac{\partial f_1}{\partial z}-\frac{\partial f_3}{\partial x} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x}-\frac{\partial f_1}{\partial y} \end{pmatrix} $$

三大积分定理#

1. 格林公式 (Greenscher Satz)（平面曲线积分→二重积分） $$ \oint_C (P \, dx + Q \, dy) = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dx \, dy $$

2. 斯托克斯定理 (Stokesscher Satz)（空间曲线积分→曲面积分） $$ \int_C \vec f \cdot d\vec s = \iint_S (\nabla \times \vec f) \cdot d\vec A $$

3. 高斯定理 (Gaußscher Satz)（曲面积分→三重积分） $$ \iint_S \vec f \cdot d\vec A = \iiint_V (\nabla \cdot \vec f) \, dV $$

坐标变换#

极坐标（平面）： $$ x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad dA = r \, dr \, d\theta $$

柱坐标： $$ x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad z = z, \quad dV = r \, dr \, d\theta \, dz $$

球坐标： $$ x = \rho\sin\phi\cos\theta, \quad y = \rho\sin\phi\sin\theta, \quad z = \rho\cos\phi $$ $$ dV = \rho^2\sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta $$

常用积分#

$$ \int r\sqrt{1+r^2}dr =\frac{1}{2}\int \sqrt{1+r^2}d(1+r^2) =\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}(1+r^2)^\frac{3}{2}+C=\frac{1}{3}(1+r^2)^\frac{3}{2}+C $$

$$ \int \sin x \, dx = -\cos x + C $$ $$ \int \cos x \, dx = \sin x + C $$ $$ \int e^{ax} \, dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C $$ $$ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C $$ $$ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) $$

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常见题型总结#

类型一：判断保守场#

方法：验证 $\nabla \times \vec f = \vec 0$

类型二：求势函数#

方法：逐步积分法（见第1节）

类型三：计算曲线积分#

• 保守场 → 势函数法
• 非保守场 → 参数化直接计算
• 闭合曲线 → 格林公式或斯托克斯定理

类型四：计算曲面积分（通量）#

• 简单曲面 → 直接参数化
• 封闭曲面 → 高斯定理（散度定理）

类型五：计算面积/弧长#

• 曲线长度 → $\int |\vec r’(t)| dt$
• 曲面面积 → $\iint |\vec r_u \times \vec r_v| du,dv$

类型六：计算体积#

• 简单区域 → 直角坐标
• 圆形/球形 → 极坐标/球坐标
• 旋转体 → 柱坐标