例题集1
数学分析例题解答
1.求解$y’=Ay$齐次线性方程(homogene lineare System von DGLn)#
$$ \mathbf{A}=\begin{pmatrix} 0 & -4 & 4 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2 & -4 & 6 \end{pmatrix} $$$$ y_1’= -4y_2 + 4y_3 \ y_2’=2y_2 \ y_3’=-2y_1-4y_2+6y_3 $$
Eigentwerte 特征值 $\lambda$
$$ \det(A-\lambda E) = 0 $$
Einheitmatrix 单位矩阵 $E$ $$ E=\begin{pmatrix}1 & & \\ & 1 & \\ & & 1 \end{pmatrix} \\ \lambda E=\begin{pmatrix}\lambda & & \\ & \lambda & \\ & & \lambda \end{pmatrix} $$
$$ A-\lambda E=\begin{pmatrix} -\lambda & -4 & 4 \\ 0 & 2-\lambda & 0 \\ -2 & -4 & 6-\lambda \end{pmatrix} $$ $$ \det (A-\lambda E)=\begin{vmatrix} -\lambda & -4 & 4 \\ 0 & 2-\lambda & 0 \\ -2 & -4 & 6-\lambda \end{vmatrix} =(2-\lambda)(\lambda-2)(\lambda-4)=0 \\ \lambda_1=\lambda_2=2,\lambda_3=4 $$Eigentvector 特征向量$\vec v$
当$\lambda=\lambda_1=\lambda_2=2$（二重根）
$$ A-2E=\begin{pmatrix} -2 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ -2 & -4 & 4 \end{pmatrix} $$$$ (A-2E)\vec v=\begin{pmatrix} -2 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ -2 & -4 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}=\vec 0 $$ 化简得：
$$ -2v_1-4v_2+4v_3=0 \Rightarrow v_1+2v_2-2v_3=0 $$
特征空间维数为 2，可以找到两个线性无关的特征向量：
取 $v_2=1, v_3=0$：$v_1=-2$，得 $\vec v_1=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
取 $v_2=0, v_3=1$：$v_1=2$，得 $\vec v_2=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
当$\lambda=\lambda_3=4$ $$ A-4E=\begin{pmatrix} -4 & -4 & 4 \\ 0 & -2 & 0 \\ -2 & -4 & 2 \end{pmatrix} $$
$$ (A-4E)\vec v=\begin{pmatrix} -4 & -4 & 4 \\ 0 & -2 & 0 \\ -2 & -4 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}=\vec 0 $$ 从第二行：$-2v_2=0 \Rightarrow v_2=0$
从第一行：$-4v_1-4v_2+4v_3=0 \Rightarrow v_1=v_3$
得特征向量 $\vec v_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
通解 (Allgemeine Lösung)#
齐次线性方程组 $y’=Ay$ 的通解为： $$ \vec y(t)=c_1 e^{2t}\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+c_2 e^{2t}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+c_3 e^{4t}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$ 或写成分量形式： $$ \begin{cases} y_1(t)=-2c_1e^{2t}+2c_2e^{2t}+c_3e^{4t} \\ y_2(t)=c_1e^{2t} \\ y_3(t)=c_2e^{2t}+c_3e^{4t} \end{cases} $$ 其中 $c_1, c_2, c_3 \in \mathbb{R}$ 为任意常数。
验证 (Verifikation)#
可以验证：$y_2’=2y_2$ ✓
对于 $y_1’=-4y_2+4y_3$：
$$ y_1’=-4c_1e^{2t}+4c_2e^{2t}+4c_3e^{4t} $$
$$ -4y_2+4y_3=-4c_1e^{2t}+4c_2e^{2t}+4c_3e^{4t} ✓ $$
2.Für die Funktion $ f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 $ mit#
$$ f(x, y, z) = \begin{pmatrix} 2x + 4xz \ z^2 \ 2x^2 + 2yz + 3z^2 \end{pmatrix} $$
gibt es ein Potential $\varphi$. Im folgenden kann also von der Gültigkeit des Potentialkriteriums ausgegangen werden.
6.1 求势函数 $\varphi$ (Potential ermitteln)#
若 $f$ 为势函数 $\varphi$ 的梯度场，则：
$$ f = \nabla \varphi = \begin{pmatrix} \frac{\partial \varphi}{\partial x} \ \frac{\partial \varphi}{\partial y} \ \frac{\partial \varphi}{\partial z} \end{pmatrix} $$
即：
$$ \frac{\partial \varphi}{\partial x} = 2x + 4xz \quad (1) $$
$$ \frac{\partial \varphi}{\partial y} = z^2 \quad (2) $$
$$ \frac{\partial \varphi}{\partial z} = 2x^2 + 2yz + 3z^2 \quad (3) $$
第一步： 对方程 (1) 关于 $x$ 积分：
$$ \varphi = \int (2x + 4xz) , dx = x^2 + 2x^2z + g(y,z) $$
其中 $g(y,z)$ 是关于 $y, z$ 的待定函数。
第二步： 利用方程 (2)：
$$ \frac{\partial \varphi}{\partial y} = \frac{\partial g}{\partial y} = z^2 $$
对 $y$ 积分：
$$ g(y,z) = \int z^2 , dy = yz^2 + h(z) $$
其中 $h(z)$ 是关于 $z$ 的待定函数。
因此：
$$ \varphi = x^2 + 2x^2z + yz^2 + h(z) $$
第三步： 利用方程 (3)：
$$ \frac{\partial \varphi}{\partial z} = 2x^2 + 2yz + h’(z) = 2x^2 + 2yz + 3z^2 $$
比较得：
$$ h’(z) = 3z^2 $$
积分得：
$$ h(z) = \int 3z^2 , dz = z^3 + C $$
取 $C = 0$，得势函数：
$$ \boxed{\varphi(x,y,z) = x^2 + 2x^2z + yz^2 + z^3} $$
6.2 计算曲线积分 (Kurvenintegral berechnen)#
由于 $f$ 是保守场（Konservatives Vektorfeld），曲线积分与路径无关，仅依赖于起点和终点：
$$ s = \int_C \boldsymbol{f} \cdot d\boldsymbol{s} = \varphi(Q) - \varphi(P) $$
计算 $\varphi(P)$： 在点 $P(0,0,0)$
$$ \varphi(0,0,0) = 0^2 + 2(0)^2(0) + (0)(0)^2 + 0^3 = 0 $$
计算 $\varphi(Q)$： 在点 $Q(1,1,2)$
$$ \varphi(1,1,2) = 1^2 + 2(1)^2(2) + (1)(2)^2 + 2^3 $$
$$ = 1 + 4 + 4 + 8 = 17 $$
结果：
$$ \boxed{s = \varphi(Q) - \varphi(P) = 17 - 0 = 17} $$
验证 (Verifikation)#
验证 $\nabla \varphi = f$：
$$ \frac{\partial \varphi}{\partial x} = 2x + 4xz \quad ✓ $$
$$ \frac{\partial \varphi}{\partial y} = z^2 \quad ✓ $$
$$ \frac{\partial \varphi}{\partial z} = 2x^2 + 2yz + 3z^2 \quad ✓ $$
（i）螺旋线#
Die Schraubenlinie
设向量函数：
（ii）函数的图形#
Der Graph der Funktion $\mathbf{f} : [0,1] \to \mathbb{R}$，其中 $\mathbf{f}(x) = \cosh x$。
提示 1： 你可以将该图形描述为曲线，若定义参数化曲线 $\mathbf{s} : [0,1] \to \mathbb{R}^2$，其中：
$$ \mathbf{s}(x) = \begin{pmatrix} x \\ f(x) \end{pmatrix}. $$提示 2： 有恒等式：$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$。