Notizen学习笔记

Analysis

例题集2

向量场保守性与曲线积分两题的解答

数学 ·2025-11-25 ·2 min

3.4.46 练习题（Übung）

计算积分 ∫Kf⋅ds\int_K \mathbf{f} \cdot d\mathbf{s} 的值，其中向量场

f:R2→R2,f(x,y)=(2xy+y22xy+x2).\mathbf{f} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \quad \mathbf{f}(x,y) = \begin{pmatrix} 2xy + y^2 \\ 2xy + x^2 \end{pmatrix}.

3.32Abbildung

分别针对以下路径：

(i) 由线段 A1 与 A2 组成的曲线（参见图 3.32）； (ii) 由线段 B 组成的曲线； (iii) 通过求向量场 f\mathbf{f} 的势函数 φ\varphi（并任取一条从 (−1,−1)(-1,-1) 到 (1,2)(1,2) 的曲线）。

解：判断并求势函数，曲线积分与路径无关。

  1. 保守性：∂f1∂y=2x+2y, ∂f2∂x=2x+2y\frac{\partial f_1}{\partial y} = 2x + 2y,\ \frac{\partial f_2}{\partial x} = 2x + 2y，相等 ⇒ 场保守。
  2. 势函数：
φ=∫(2xy+y2) dx=x2y+xy2+C(y)\varphi = \int (2xy + y^2)\,dx = x^2 y + x y^2 + C(y)

由 ∂φ∂y=x2+2xy+C′(y)=f2\frac{\partial \varphi}{\partial y} = x^2 + 2xy + C'(y) = f_2 得 C′(y)=0C'(y)=0，故

φ(x,y)=x2y+xy2+const\boxed{\varphi(x,y)=x^2 y + x y^2 + \text{const}}
  1. 端点取 P=(−1,−1)P=(-1,-1)，Q=(1,2)Q=(1,2)（三条路径端点相同）：
φ(Q)=12⋅2+1⋅4=6,φ(P)=(−1)2(−1)+(−1)⋅1=−2\varphi(Q)=1^2\cdot2 + 1\cdot4 = 6,\qquad \varphi(P)=(-1)^2(-1) + (-1)\cdot1 = -2 ∫Kf⋅ds=φ(Q)−φ(P)=6−(−2)=8\int_K \mathbf{f}\cdot d\mathbf{s} = \varphi(Q)-\varphi(P) = 6 - (-2) = \boxed{8}

因为是保守场，A1+A2、B 或任意曲线结果都相同，均为 8。

3.4.47 练习题（Übung）

计算积分 ∫Cf⋅ds\int_C \mathbf{f} \cdot d\mathbf{s} 的值，其中积分路径 CC 从点 P1=(1,0,1)P_1 = (1,0,1) 到点 P2=(2,3,2)P_2 = (2,3,2)，向量场为

f:R3→R3,f(x,y,z)=(3x2y+1x3+2yz22y2z+3z2).\mathbf{f} : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, \quad \mathbf{f}(x,y,z) = \begin{pmatrix} 3x^2y + 1 \\ x^3 + 2yz^2 \\ 2y^2z + 3z^2 \end{pmatrix}.

解：同样先判保守性并求势函数。

  1. 保守性检查：
∂f1∂y=3x2=∂f2∂x,∂f1∂z=0=∂f3∂x,∂f2∂z=4yz=∂f3∂y\frac{\partial f_1}{\partial y} = 3x^2 = \frac{\partial f_2}{\partial x},\quad \frac{\partial f_1}{\partial z} = 0 = \frac{\partial f_3}{\partial x},\quad \frac{\partial f_2}{\partial z} = 4yz = \frac{\partial f_3}{\partial y}

均相等 ⇒ 场保守。 2. 势函数：

φ=∫(3x2y+1) dx=yx3+x+C(y,z)\varphi = \int (3x^2 y + 1)\,dx = y x^3 + x + C(y,z)

用 f2f_2：∂φ∂y=x3+Cy=x3+2yz2⇒Cy=2yz2\frac{\partial \varphi}{\partial y} = x^3 + C_y = x^3 + 2yz^2 \Rightarrow C_y = 2yz^2

C(y,z)=y2z2+D(z)C(y,z) = y^2 z^2 + D(z)

再用 f3f_3：∂φ∂z=2y2z+D′(z)=2y2z+3z2⇒D′(z)=3z2\frac{\partial \varphi}{\partial z} = 2y^2 z + D'(z) = 2y^2 z + 3z^2 \Rightarrow D'(z)=3z^2， 故 D(z)=z3+constD(z)=z^3 + \text{const}，于是

φ(x,y,z)=yx3+x+y2z2+z3+const\boxed{\varphi(x,y,z)=y x^3 + x + y^2 z^2 + z^3 + \text{const}}
  1. 端点代入：
φ(P1)=0⋅13+1+0+1=2;φ(P2)=3⋅23+2+32⋅22+23=24+2+36+8=70\varphi(P_1) = 0\cdot1^3 + 1 + 0 + 1 = 2;\qquad \varphi(P_2) = 3\cdot 2^3 + 2 + 3^2\cdot 2^2 + 2^3 = 24 + 2 + 36 + 8 = 70 ∫Cf⋅ds=φ(P2)−φ(P1)=68\int_C \mathbf{f}\cdot d\mathbf{s} = \varphi(P_2) - \varphi(P_1) = \boxed{68}

路径任意（只要端点相同）结果都为 68。